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{December 7, 2007}   segundo metodo de lyapunov

segundo método de lyapunov.

La segunda opción que se nos presenta es el Segundo Método de Estabilidad de Lyapunov, también conocido como Método Directo de Estabilidad de Lyapunov [1], el cual se fundamenta en la aplicación del siguiente Teorema.

Teorema

Sea x = 0 un punto de equilibrio de un sistema, en general, no lineal

Sea V : D ® R una función continuamente diferenciable en la vecindad D de x = 0, tal que V(0) = 0 y V(x) > 0 en D – {0}. Si V es siempre decreciente en D, i.e.,

entonces, se puede asegurar que el sistema es estable en x = 0.

Además, si en D – {0} entonces x = 0 es asintóticamente estable

La tarea es encontrar una V(x), llamada función candidata de Lyapunov, la cual debe satisfacer los siguientes requerimientos:

V es continua

V(x) tiene un único mínimo en xeq con respecto a todos los otros puntos en D

• A lo largo de cualquier trayectoria del sistema contenida en D el valor de V nunca se incrementa

El primer método de Lyapunov determina la estabilidad en la vecindad inmediata de un punto de equilibrio, mientras que el Segundo Método de Lyapunov permite determinar cuán lejos puede estar la trayectoria de un sistema de un punto de equilibrio y seguir acercándose a éste cuando t tiende a ¥

Región de Estabilidad asintótica (región de atracción)

Sea f(t;x) la solución del sistema de ecuaciones que parte del estado inicial x en el instante de tiempo t = 0. Entonces, la región de atracción está definida como el conjunto de todos los puntos x tales que limt®¥ f(t;x) = 0

Si Wc = { x Î Rn | V(x) £ c } está limitado y contenido en D, entonces cada trayectoria que parte en Wc permanece en Wc y se aproxima al punto de equilibrio cuando t ® ¥. Así, Wc es un estimado de la región de atracción.

Tipos de estabilidad en relación a la región de atracción:

Lyapunov define tres tipos de estabilidad en relación a la Región de Atracción, a saber:

Estabilidad local (estabilidad en la cercanía) – cuando un sistema permanece dentro de un región infinitesimal alrededor de un punto de equilibrio, cuando es sujeto a pequeñas perturbaciones

Estabilidad Finita – cuando un sistema retorna al punto de equilibrio desde cualquier punto dentro de una región R de dimensiones finitas que lo rodean

Estabilidad global (Estabilidad en la distancia) – si la región R incluye el espacio de estado entero

La Figura 1 describe gráficamente los distintos tipos de estabilidad que propone Lyapunov. Es oportuno destacar que siempre es posible encontrar una función de Lyapunov para un sistema lineal de la forma descrita por (1), sin perturbación externa, esto es, con u=0. En este caso, se puede escoger una función de Lyapunov de la forma cuadrática:

V = xT Px         (3)

donde P es una matriz simétrica definida positiva. Entonces, se tiene

Nótese que el sistema matricial de ecuaciones (5), que se requiere resolver durante la aplicación del Segundo Método de Estabilidad de Lyapunov, tiene la forma general de un sistema del tipo AX + XB = C. Este sistema general debe ser adecuado para el sistema particular de Lyapunov, haciendo B = AT y C = -Q. Chequeando la consistencia del sistema, comprobamos que todas las matrices deben ser cuadradas.

Si la matriz Q es definida positiva, entonces el sistema es asintóticamente estable. Por ejemplo, se puede escoger Q = I, la matriz identidad que es obviamente definida positiva, y resolver

AT P + PA = -I

para P, y ver si ésta es también definida positiva (para lo cual se pueden examinar, por ejemplo, los n menores principales de P, según el criterio de Sylvester).

Aunque es cierto que podemos chequear la estabilidad de un sistema lineal, verificando las partes reales de los autovalores de A, la solución de la ecuación matricial de Lyapunov puede proveer un estimado para una función candidata de Lyapunov para sistemas no lineales en casos en que esto se realice computacionalmente.

 



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